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  • Lemme des fermés emboîtés

    Formulaire de report

    Lemme des fermés emboîtés :
    • \((X,d)\) est un espace métrique complet
    • \((F_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de Fermés
    • ils sont tq $$\forall n\in{\Bbb N},F_{n+1}\subset F_n\quad\text{ et }\quad \operatorname{diam}(F_n){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$

    $$\Huge\iff$$
    • \(\bigcap_{n\in{\Bbb N}}F_n\) est un singleton


    Preuve du lemme des fermés emboîtés.

    Si on prend un point arbitraire dans chaque \(F_n\), alors la suite formée est de Cauchy, et donc converge dans l'espace complet.

    Par emboitement, cette limite est dans tous les \(F_n\), donc dans l'intersection, ce qui nous donne l'existence.

    L'unicité est donnée par la décroissance des diamètres vers \(0\).



    Questions de cours

    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Donner un contre-exemple au lemme des fermés emboîtes pour une suite de fermés dont la suite de diamètres ne tend pas vers \(0\).
    Verso:

    Bonus:
    Carte inversée ?:
    END

  • Rétroliens :
    • Espace complet
    • Projection sur un convexe fermé
    • Théorème de Baire